Борис Петрович Свешников родился 1 февраля 1927 года в Москве.

В 1946, во время учёбы в Институте прикладного и декоративного искусства, был арестован по обвинению в «антисоветской пропаганде», отбыл восемь лет в лагерях (Ухта, Коми АССР), работал в одной бригаде со Львом Кропивницким, был на грани истощения («доходяга»). В 1954 вышел из лагеря, в 1956 реабилитирован.

В 1954—1957 жил в Тарусе, был близок к Аркадию Штейнбергу, затем обосновался в столице. Работал для Гослитиздата, создал иллюстрации к книгам Гёте, Э. Т. А. Гофмана, Х. К. Андерсена, братьев Гримм, М. Метерлинка, К. Г. Паустовского, Я. Седерберга, Т. Мура, Я. Врхлицкого и других писателей. Один из крупнейших и наиболее авторитетных представителей «неофициального» искусства 1950—1980-х годов.